Генерация сетки

Аннотация

Численный эксперимент можно условно разделить на следующие стадии:

1. Построение сетки

2. Подготовка исходных данных

3. Решение модельных уравнений

4. Анализ полученных результатов

Данная схема может быть не простой последовательностью перечисленных действий, но обладать обратной связью. Например, на основе анализа полученных результатов возможно внесение корректировок в модель и/или в процесс построения сетки и т.п., то есть процесс моделирования является, в общем случае, итерационным.

Процесс построения сетки относится к ключевым моментам проведения численного эксперимента. Рациональным выбором сетки можно значительно упростить решение модельных уравнений, как правило представляющих систему дифференциальных уравнений в частных производных.

Можно выделить следующие глобальные типы сеток, применяемых в задачах вычислительной гидроаэродинамики (ВГАД) и различающихся идеологией построения и методами решения модельных уравнений:

- регулярные;

- неструктурированные (unstructured grids);

- гибридные (hybrid grids).

Перед тем, как перейдем к рассмотрению перечисленных выше типов сеток сформулируем цель построения сетки и основные требования к ней.

Задача построения расчетной сетки заключается в нахождении отображения, которое переводит узлы сетки из физической области в вычислительную. Данное отображение, как минимум, должно удовлетворять следующим требованиям:

- отображение должно быть однозначным;

- сетка должна иметь сгущение в тех областях, где возможно появление больших градиентов искомых функций;

- линии сетки должны быть гладкими для обеспечени непрерывности производных (для регулярных сеток).

Методы построения сеток

1. Регулярные сетки

Традиционно, при решении задач ВГАД, применялись и применяются регулярные сетки (четырехсторонние ячейки на поверхности и шестигранные в пространстве). Регулярность заключается в том, что сетка представляет собой упорядоченную по определенным правилам структуру с явно выраженными сеточными направлениями, которые, в общем случае, представляют собой криволинейную систему координат. В преобразованном (вычислительном) пространстве ячейки сетки являются топологическими прямоугольниками (2-х мерные задачи) или параллелепипедами (3-х мерный случай). Для дискретизации модельных уравнений используют методы конечных разностей (МКР).

Следует особо отметить случаи ортогональных и конформных сеток. В первом случае (ортогональная сетка) при дискретизации модельных уравнений обнуляются некоторые параметры преобразования - компоненты метрического тензора преобразования (матрицы Якоби), находящиеся не на главной диагонали данного тензора. Следствием является уменьшение погрешности (нет необходимости аппроксимировать априори нулевые компоненты тензора преобразования координат) и, следовательно, повышение точности решения.

Использование конформных преобразований позволяет сохранить такую же структуру модельных уравнений, записанных в вычислительной системе координат , как и в декартовом пространстве. Иными словами, параметры преобразования в данном случае равны либо единице, либо нулю.

Основные методы применяемые для построения регулярных расчетных сеток:

- алгебраические;

- на основе решения дифференциальных уравнений в частных производных;

- методы с использованием теории комплексных переменных.

1.1 Алгебраические методы

Как следует из названия, данный тип сеток строится на основе решения систем алгебраических уравнений. Основная идея алгебраических методов построения сеток состоит в использовании интерполяции граничных данных для определения внутренних узлов сетки. Контроль за размещением узлов сетки осуществляется с помощью функций растяжения (stretching).

Широко известны следующие алгебраические методы построения сеток для двух- и трехмерных задач:

- метод двух границ (two-boundary technique);

- метод многих поверхностей (multi-surface method);

1.2 Дифференциальные методы

В данном случае построение сеток происходит на основе решения дифференциальных уравнений в частных производных. Следует отметить, что использование данного подхода не всегда приводит к построению ортогональных или конформных сеток.

Известно, что дифференциальные уравнения в частных производныхразделяются на классы - гиперболические, параболические и эллиптические.

Соответственно, можно выделить дифференциальные методы построения сеток, основанные на использовании перечисленных трех типов уравнений. Свойства решений гиперболических, параболических или эллиптических уравнений следует учитывать при построении сеток.

Перечислим, вкратце, достоинства и недостатки каждого из вышеупомянутых типов дифференциальных уравнений для построения сеток:

- гиперболические уравнения:

d2. Решение гиперболических уравнений может оказаться неустойчивым, несмотря на введение "искусственной вязкости".

d3. При построении сетки не могут быть использованы все граничные условия физической области, что может оказаться существенным для широкого класса задач.

a1. Важным преимуществом гиперболических уравнений является то обстоятельство, что данные уравнения решаются эффективными маршевыми методами, и следовательно, требуют существенно меньших временных затрат по сравнению с эллиптическими уравнениями.

- параболические уравнения:

a1. Сетка строится маршевым методом, что обеспечивает высокую вычислительную эффективность.

a2. Параболические уравнения имеют многие свойства эллиптических уравнений, в частности, механизм диффузионного сглаживания, что обеспечивает отсутствие изломов и разрывов в решении.

d1. К недостатку метода можно отнести невозможность использования всех граничных условий физической области, поскольку для параболических уравнений в маршевом направлении условия не ставятся.

- эллиптические уравнения:

a1. Возможность получения гладкого решения.

a2. Учет граничных условий на всех границах физической области.

a3. Взаимооднозначность отображений физической и вычислительной областей.

a4. Гибкий механизм контроля за размещением внутренних узлов сетки.

d1. Недостатком метода является большее время решения, по сравнению с гиперболическими или параболическими уравнениями, т.к. эллиптические уравнения решаются итерационными методами.

1.3 Методы теории функций комплексного переменного

Первоначально конформные преобразования с использованием функций комплексного переменного использовались для расчета потенциальных течений около тел сложной формы. В настоящее время данные преобразования используют для построения сеток без ограничений на тип течения.

Преобразования комплексных переменных используют для построения конформных сеток и , как правило, для двумерных областей.

1. Для хорошо обтекаемых тел используют последовательность отображений сводящих поверхность тела к кругу единичного радиуса.

2. Для тел произвольной формы применяют одношаговое преобразование Шварца-Кристоффеля.

Следует отметить, что применение комплексных переменных позволяет получить аналитические функции преобразования.

К общим недостаткам построения сеток конформными отображениями с использованием комплексных переменных относятся:

d2. Нетривиальность выбора последовательности конформных отображений для тел сложной конфигурации.

Из сравнения методов построения регулярных сеток можно сделать следующие выводы.

1. Построение полностью конформных или ортогональных сеток возможно только в двумерном случае, для трех измерений выполнение вышеназванных условий сильно ограничено.

- сгущение узлов сетки внутри физической области не всегда происходит требуемым для решения задач ВГАД образом;

- сетки очень чувствительны к изменению внешних границ (небольшое изменение границы ведет к необходимости перестройки сетки);

- двойное ограничение на ортогональность и масштабный фактор вносит дополнительные трудности в генерацию сетки при помощи дифференциальных уравнений.

3. Полностью ортогональные сетки можно построить методами конформных отображений с последующим растяжением узлов ( конформность нарушается, но требование ортогональности должно быть соблюдено) или дифференциальными методами. Следует отметить, что в областях со сложной геометрией полностью ортогональные сетки могут быть сильно деформированными в физической области и, следовательно, возможно появление дополнительной погрешности при решении задач ВГАД.

4. При решении многих задач можно использовать сетки, близкие к ортогональным вместо строго ортогональных. Построение подобных сеток осуществляется с меньшими затратами вычислительных ресурсов.

5. С точки зрения вычислительной эффективности предпочтительнее применение алгебраических методов построения сеток, особенно в трехмерном случае. Данные методы позволяют обеспечить условие локальной ортогональности сетки в заданных областях. Соответственно перестройка сетки алгебраическими методами осуществляется быстрее, чем в остальных случаях.

6. Взаимооднозначность отображений физической и вычислительной областей обеспечивают методы последовательных конформных отображений и дифференциальный метод на основе решения эллиптических уравнений в частных производных. В остальных случаях взаимооднозначность отображений не гарантируется, поэтому требуется интерактивный процесс генерации сетки с использованием графических средств ЭВМ.

7. Из анализа литературы последних лет можно сделать вывод о том, что наиболее широко распространенными являются методы построения сеток на основе решения эллиптических уравнений (elliptic grid generation) и алгебраические методы - трансфинитная интерполяция и метод многих поверхностей. Однако, ни один из вышеперечисленных подходов не является универсальным по отношению ко всему спектру задач ВГАД. В общем случае, может применяться любой метод, позволяющий получить удовлетворительные результаты при моделировании.

8. При моделировании как внешних, так и внутренних течений может применяться любой метод построения сеток. Следует отметить, что использование гиперболических и параболических уравнений для построения сетки не всегда может оказаться пригодным для некоторых типов задач (см. выше).

1.4 Случай геометрически сложных расчетных областей

При решении задач ВГАД в областях со сложной геометрией (обтекание самолета, внутренние течения в реакторах, приборах и т.п.) возникает проблема генерации расчетной сетки во всей области. Как правило, невозможно построить единую сетку для сложной расчетной области, поэтому производят разделение всего поля течения на подобласти в каждой из которых, в свою очередь генерируют сетку любым из перечисленных способов.

Можно выделить следующие подходы для решения данной проблемы:

- иерархические блочные структуры (embedding grids).

1. Физическая область разбивается на несколько зон или блоков. Границы блоков могут не соответствовать границам физической области.

2. Для каждого блока отдельно строится сетка (zonal grid) в соответствии с граничными условиями для каждой подобласти.

Различают два подхода к организации обмена данными между соседними блоками:

1. Сетки из разных блоков стыкуются точно по поверхностям раздела физической области на зоны (patched grids).

2. Сетки из соседних блоков могут пересекаться между собой (overlapped grids).

Можно отметить следующие достоинства и недостатки вышеуказанных подходов при решении задач ВГАД:

Границы блоков совпадают точно:

- при переходе от одной зоны к другой сохраняется консервативность разностной схемы;

- не требуется интерполяция между соседними блоками;

- необходимо точное совпадение границ блоков и, следовательно, могут накладываться дополнительные условия при построении сеток. Например, границы зон фиксированы и не могут изменяться произвольным образом.

Блоки имеют пересечения:

- границы блоков могут быть произвольными;

- каждый блок может перемещаться относительно других блоков;

- при переходе от одного блока к другому консервативность схемы не гарантируется;

- требуется интерполяция искомых функций (газодинамических параметров) в пересекающихся областях.}

2. Неструктурированные сетки (unstructured grids)

Характерной особенностью неструктурированных сеток является произвольное расположение узлов сетки в физической области. Произвольность следует понимать в том смысле, что отсутствуют сеточные направления и нет структуры сетки, подобной регулярным сеткам. Узлы сетки объединяются в многогранники (3-х мерный случай) или в многоугольники (плоский случай) произвольной формы. Как правило, на плоскости используют треугольные ячейки реже - четырехугольные, в пространстве - тетраэдры и призмы.Модельные уравнения на неструктурированных сетках решаются методами взвешенных невязок: методами конечных элементов, конечных объемов, методом Галеркина и т.п. Методы конечных разностей на подобных сетках неприменимы.

Первые публикации по использованию неструктурированных сеток в задачах ВГАД относятся к середине 80-х годов и к настоящему времени данный тип сеток получил широкое распространение. Одним из стимулов к развитию методов решения уравнений на неструктурированных сетках и методов генерации самих сеток явилось, по-видимому, широкое распространение высокопроизводительных ЭВМ (в том числе суперЭВМ) в конце 80-х годов и увеличение производительности машин.

Контроль качества сгенерированной сетки заключается в следующем:

1. Проверка неотрицательности значения объема каждой ячейки.

2. Проверка на отсутствие пересечения ячеек.

3. Соседние ячейки должны обладать соизмеримыми мерами объема или площади, т.е. не допускаются ситуации в которых из двух соседних ячеек одна во много раз больше или меньше другой.

Контроль не исчерпывается перечисленными пунктами, однако они являются необходимыми.

1. Время выполнения задач ВГАД на неструктурированных сетках в несколько раз больше, чем на регулярных.

3. При равном количестве узлов в одном и том же объеме в неструктурированной сетке требуется в 5-6 раз больше ячеек (тетраэдров), чем в регулярной сетке.

4. Для разрешения тонких пристенных слоев требуются очень малые ячейки, что ведет к необоснованному увеличению их количества.

5. Для задач имеющих области с большими касательными напряжениями (турбулентные течения) требуется информация по нормали к поверхности и, следовательно, принятие специальных мер при построении сетки в данных областях.

Тем не менее данный подход получает все более широкое распространение по следующим причинам:

- процесс генерации сетки легче формализуется и автоматизируется по сравнению с регулярными сетками;

- в случае очень сложной геометрии расчетной области (автомобиль, самолет, тракты различных устройств и т.п.) время генерации неструктурированной сетки на порядок меньше времени генерации регулярной;

- адаптация сетки к получаемому решению производится более просто и легче автоматизируется, чем в случае регулярных сеток;

- прогресс в развитии вычислительной техники, удешевления стоимости вычислений, широкое распространение вычислительных систем сопоставимых по производительности с суперкомпьютерными системами стимулировало, в том числе, и развитие вычислительных методов решения уравнений с применением нерегулярных сеток;

- в определенном смысле универсальность генератора неструктурированных сеток к широкому диапазону прикладных задач ВГАД.

3. Гибридные сетки (hybrid grids)

Гибридные сетки комбинируют регулярные и неструктурированные области сетки. Данный подход позволяет сочетать достоинства и снизить влияние недостатков, присущих каждому типу сеток. Простейший пример построения гибридной сетки:

- течение около набора профилей: область около профилей покрывается ортогональной регулярной сеткой, а области между профилями и далекое поле - неструктурированной. Вычислительный алгоритм содержит процедуру переключения вычислительных схем на различных сетках и, если необходимо, процедуру переноса вычислительной информации с одного типа сетки на другой.

В заключение можно отметить следующие недостатки и достоинства регулярных и неструктурированных сеток.

1. Регулярные сетки допускают высокий порядок аппроксимации для методов сквозного счета, что трудно достичь на неструктурированных сетках.

2. Регулярные сетки позволяют в большей степени векторизовать программы.

3. Течения с сильными ударными волнами лучше разрешаются на регулярных сетках, чем на неструктурированных, т.к. последние вносят большие фазовые ошибки.

4. Программы, использующие регулярные сетки проще, т.к. не требуют хранения и переработки информации о соседних ячейках, ребрах, гранях (ориентация, длины и т. п.), необходимой при расчете на неструктурированных сетках.

5. Регулярные сетки позволяют использовать методы расщепления по направлениям в случае многомерных задач.

6. Для регулярных сеток характерно снижение точности схемы на границах с телом в случае сложной геометрии, т.к. задача построения данного типа сетки, в общем случае, не является тривиальной. Кроме того, возможно появление ячеек произвольной формы или вырожденных.

7. Для явных схем, использующих регулярные сетки, существует проблема малых ячеек на границах с телом, накладывающая ограничения на шаг интегрирования и требующая для разрешения утойчивые, консервативные разностные схемы.

8. Существенным преимуществом неструктурированного подхода является гибкая структура построения сетки, позволяющая точно отобразить геометрию расчетной области и сгенерировать сетку с меньшими затратами для областей сложной геометрии, главным образом, пространственных конфигураций.

9. Адаптация сетки к решению задачи в случае неструктурированного подхода производится сравнительно проще, чем в случае регулярных методов построения сетки.

Исходя из сказанного выше, можно дать следующие общие рекомендации по выбору подхода к построению сетки:

1. Применение неструктурированных сеток целесообразно в случае достаточно сложных пространственных фиксированных или изменяемых геометрий. В последнем случае перестройка сетки достигается с существенно меньшими вычислительными затратами, по сравнению, с регулярными методами.

2. Неструктурированный подход может дать преимущество в задачах, требующих адаптацию сетки к решению, поскольку является более гибким, чем регулярные методы.

В заключение следует отметить, что априори не существует наилучшего метода генерации сетки, в общем случае задачу можно решить различными способами с приблизительно одинаковым результатом. Так же нельзя сбрасывать со счетов и субъективные факторы - опыт, квалификацию и искусство исследователя.

Литература

[1] Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей -М:Мир, т.2, 1991, 552с.

[2] Smith R.E. Algebraic Grid Generation - в сб. Numerical Grid Generation // ed. by J.F.Thompson. New York, North-Holland, 1982, pp.137-170.

[8] Thompson J.F. Elliptic grid generation - в сб. Numerical Grid Generation // ed. by J.F.Thompson. New York, North-Holland, 1982, pp.79--106.

[11] Хэлси Н.Д. Использование конформных отображений при построении сеток для расчета обтекания трехмерных аэродинамических компоновок сложной формы. АКТ , N11, 1988, с.11-18.

[14] Noak R.W., Steinbrenner J.P. A three-dimensional hybrid grid generation technique - в сб. 12th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, San-Diego, 1995, pp.413-423.