Разностные схемы для моделирования нестационарных течений
газа.автор: А.И. Котов
Ниже классифицируются явные разностные схемы численного моделирования уравнений Эйлера для двумерных и трехмерных нестационарных течений.
Рассматриваются консервативные разностные схемы, составленные на основе интегральных законов сохранения или (что то же самое) на основе записи уравнений Эйлера в дивергентном виде.
Рассматриваемые схемы можно разделить на 2 способа построения: препроцессорный и способ построения схем дивергентной записи с членами искусственной вязкости. В реализации схем, построенных по первому способу рассчитываются градиенты параметров (примитивных, консервативных или характеристических - зависит от схемы) каким-либо способом с применением ограничителей. Затем, с учетом полученных градиентов рассчитываются параметры на границах ячеек слева и справа, и по полученным параметрам "ступеньки" рассчитываются потоки обмена между ячейками. Такой способ позволяет применять не обязательно регулярные сетки, а, например, триангулированные сетки и так далее.
Второй способ построения основан на записи стандартного шаблона схемы с добавлением членов искусственной вязкости, использующих характеристические свойства уравнений. Схемы, записанные вторым способом требуют построения регулярных сеток. Из тестированных нами схем лучшей разрешающей способностью по выделению разрывов обладает схема ENO3, построенная по второму способу.
Схему, построенную вторым способом, можно сделать неявной, записав ее в приращениях по методу Beam Warming. При этом временной шаг может быть значительно больше, чем требуют CFL условия. Достигнутая в этом случае экономия перекрывает затраты на векторную прогонку (Block Tridiagonal Inversion), что уменьшает потребное время счета в несколько раз. Применение неявных схем оправдано для счета на установление и для слабонестационарных течений. Для сильнонестационарных течений в применении неявных схем существует опасность "пропустить" фрагмент процесса, сравнимый по длительности с временным шагом.
Схемы второго способа построения могут быть записаны в "расщепленном" по пространству виде. Следует отметить, что на неортогональных сетках не удается полностью избавиться от "шума схемы", связанном с расщеплением по пространству.
Полезно применять для явных схем "технологическое" расщепление по пространству, накапливая добавки к консервативным переменным на каждом направлении, и только при проходе последнего направления вычислять новые значения параметров в ячейках. Схема при этом остается нерасщепленной, но упрощается применение схемы для задач сложной геометрии.
К моделированию течений сложной геометрии возможно 3 подхода. Первый состоит в построении подобластей регулярной сетки, охватывающих всю область течения. В этом случае возможно применение схем второго способа построения. Второй способ состоит в применении нерегулярных сеток. Здесь невозможно применение схем, записанных в стандартном шаблоне. Третий способ состоит в применении прямоугольных сеток с резаными ячейками.